Énoncé

On rappelle l'énoncé du théorème de Pythagore et de sa réciproque.

Théorème de Pythagore
Si `\text{ABC}` est un triangle rectangle en `\text{B}` , alors  \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) .

Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle `\text{ABC}` , si   \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) , alors   `\text{ABC}` est rectangle en `\text{B}` .

Les deux implications étant vraies, on peut les écrire sous forme d'une équivalence de la façon suivante :  \(\text{ABC}\)  est un triangle rectangle en  \(\text{B}\) si et seulement si  \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) .

L'objectif de cet activité est de trouver un énoncé qui permette de généraliser ce résultat dans un triangle  \(\text{ABC}\)  quelconque.
La stratégie consiste à exprimer le réel \(d=\text{AC}^2-\text{AB}^2-\text{BC}^2\) en fonction des longueurs \(\text{AB}, \text{BC}\)  et de  \(\cos(\widehat{\text A\text B\text C})\) .